Главная
Статьи





11.08.2022


11.08.2022


11.08.2022


11.08.2022


11.08.2022






Теорема Лестера

19.01.2022

Теорема Лестера — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому в любом разностороннем треугольнике две точки Ферма, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера). Названа именем канадского математика Джун Лестер (June Lester).

Доказательства

Доказательство Гильберта с помощью гиперболы Киперта

Теорема об окружности Лестера вытекает из более общего утверждения Б. Гиберта (2000), а именно, что любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма.

Лемма Дао на прямоугольной гиперболе

В 2014 году Дао Танх Оай (Đào Thanh Oai) показал, что результат Гиберта следует из свойств прямоугольных гипербол. А именно, пусть точки H {displaystyle H} и G {displaystyle G} лежат на одной ветви прямоугольной гиперболы S {displaystyle S} , а F + {displaystyle F_{+}} и F − {displaystyle F_{-}} — две точки на S {displaystyle S} , симметричные относительно её центра (точки-антиподы), в которых касательные прямые к S {displaystyle S} параллельны прямой H G {displaystyle HG} .

Пусть K + {displaystyle K_{+}} и K − {displaystyle K_{-}} — две точки на гиперболе, касательные прямые в которых пересекаются в точке E {displaystyle E} на прямой H G {displaystyle HG} . Если прямая K + K − {displaystyle K_{+}K_{-}} пересекает H G {displaystyle HG} в точке D {displaystyle D} , и перпендикуляр в середине отрезка D E {displaystyle DE} пересекает гиперболу в точках G + {displaystyle G_{+}} и G − {displaystyle G_{-}} , то шесть точек F + , F − , E , F , G + , G − {displaystyle F_{+},F_{-},E,F,G_{+},G_{-}} лежат на одной окружности.

Чтобы получить теорему Лестера из этого результата, необходимо взять в качестве S {displaystyle S} гиперболу Киперта треугольника, в качестве точек F + , F − {displaystyle F_{+},F_{-}} — точки Ферма, точками K + , K − {displaystyle K_{+},K_{-}} будут внутренняя и внешняя точки Вектена, точками H , G {displaystyle H,G} будут ортоцентр и центроид треугольника.