Главная
Статьи





17.05.2022


17.05.2022


17.05.2022


17.05.2022


17.05.2022






Гипотеза Фирузбэхт

11.05.2022

Гипотеза Фирузбэхт — это гипотеза о распределении простых чисел. Гипотеза носит имя иранского математика Фариды Фирузбэхт (1962-2019) из университета в Исфахане, которая высказала её в 1982 году.

Утверждение гипотезы

Гипотеза утверждает, что p n 1 / n {displaystyle p_{n}^{1/n}} (где p n {displaystyle p_{n}} — n-е простое число) является строго убывающей функцией от n, т. е.

p n + 1 n + 1 < p n n {displaystyle {sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{sqrt[{n}]{p_{n}}}} для всех n ≥ 1. {displaystyle ngeq 1.}

Эквивалентно:

p n + 1 < p n 1 + 1 n {displaystyle p_{n+1}<p_{n}^{1+{frac {1}{n}}}} для всех n ≥ 1 , {displaystyle ngeq 1,}

см. последовательности A182134, A246782.

Подтверждение гипотезы

Используя таблицу максимальных интервалов, Фарида Фирузбэхт проверила свою гипотезу до 4,444⋅1012. С расширенной таблицей максимальных промежутков гипотеза была проверена для всех простых чисел до 10 19 {displaystyle 10^{19}} .

Связь с другими гипотезами

Если гипотеза верна, то функция интервалов между простыми числами g n = p n + 1 − p n {displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}} должна удовлетворять неравенству:

g n < ( log ⁡ p n ) 2 − log ⁡ p n {displaystyle g_{n}<(log p_{n})^{2}-log p_{n}} для всех n > 4. {displaystyle n>4.}

Более того,

g n < ( log ⁡ p n ) 2 − log ⁡ p n − 1 {displaystyle g_{n}<(log p_{n})^{2}-log p_{n}-1} для всех n > 9 , {displaystyle n>9,}

см. также последовательность A111943. Гипотеза находится среди наиболее сильных гипотез о верхних границах для интервалов между простыми числами, она даже несколько сильнее гипотез Крамера и Шенкса. Из гипотезы вытекает сильная форма гипотезы Крамера, а потому она несовместима с эвристикой Гранвилла, Пинтца и Майера, в которой предполагается, что

g n > 2 − ε e γ ( log ⁡ p n ) 2 {displaystyle g_{n}>{frac {2-varepsilon }{e^{gamma }}}(log p_{n})^{2}}

встречается бесконечно много раз для любого ε > 0 , {displaystyle varepsilon >0,} где γ {displaystyle gamma } означает константу Эйлера — Маскерони.

Две связанные гипотезы (см. комментарии к последовательности A182514)

( log ⁡ ( p n + 1 ) log ⁡ ( p n ) ) n < e , {displaystyle left({frac {log(p_{n+1})}{log(p_{n})}} ight)^{n}<e,}

которая несколько слабее, и

( p n + 1 p n ) n < n log ⁡ ( n ) {displaystyle left({frac {p_{n+1}}{p_{n}}} ight)^{n}<nlog(n)} для всех n > 5 , {displaystyle n>5,}

которая сильнее.