Координатное представление (квантовая механика)

Координатное представление (квантовая механика) — это такое представление операторов квантовой механики, в котором операторы и волновая функция зависят от пространственных координат.В этом представлении оператор координаты диагонален.

Уравнение Шрёдингера

В данном представлении уравнение Шрёдингера имеет вид:

( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) ) ψ = i ℏ ∂ ψ ∂ t {displaystyle (-{frac {hbar ^{2}}{2m}} abla ^{2}+V(r))psi =i{hbar }{frac {partial psi }{partial t}}}

- зависящее от времени, и

( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) ) ψ = E ψ {displaystyle (-{frac {hbar ^{2}}{2m}} abla ^{2}+V(r))psi =Epsi }

не зависящее от времени (везде r - радиус-вектор точки, где берётся волновая функция).

Некоторые операторы в координатном представлении

r {displaystyle r} -координата;

− i ℏ ∂ ∂ r {displaystyle -i{hbar }{frac {partial }{partial r}}} -импульс;

− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) {displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}} abla ^{2}+V(r)} -гамильтониан.

Связь с другими представлениями

Чтобы перейти в импульсное представление, нужно либо

1) Решить задачу в координатном и перейти к импульсному с помощью суперпозиционного соотношения

ψ ( p ) = 1 2 π ℏ ∫ ψ ( x ) e − i p x / ℏ d x {displaystyle psi (p)={frac {1}{sqrt {2pi {hbar }}}}int psi (x)e^{-ipx/hbar }dx}

P.S. Переход обратно к координатному представлению можно записать, как ψ ( x ) = 1 2 π ℏ ∫ ψ ( p ) e i p x / ℏ d p {displaystyle psi (x)={frac {1}{sqrt {2pi {hbar }}}}int psi (p)e^{ipx/hbar }dp}

Легко видеть, что это прямое и обратное преобразования Фурье. В трёхмерном пространстве множитель при интеграле нужно заменить на 1 ( 2 π ℏ ) 3 {displaystyle {frac {1}{sqrt {(2pi hbar )^{3}}}}}

2) Сменить гамильтониан на H ^ = p 2 2 m + V ( i ℏ ∂ ∂ p ) {displaystyle {hat {H}}={frac {p^{2}}{2m}}+V(i{hbar }{frac {partial }{partial p}})} и решать задачу с ним.