Главная
Статьи





07.11.2022


07.11.2022


07.11.2022


07.11.2022


07.11.2022






Радикал идеала

11.08.2022

В коммутативной алгебре радикал идеала I — это идеал, образованный всеми элементами x такими, что некоторая степень x принадлежит I. Радикальный идеал — это идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.

Определение

Радикал идеала I в коммутативном кольце R, обозначаемый I {displaystyle {sqrt {I}}} , определяется как

I = { r ∈ R ∣ ∃ n ∈ N r n ∈ I } {displaystyle {sqrt {I}}={rin Rmid exists nin mathbb {N} ,,,r^{n}in I}}

Интуитивно, для получения радикала идеала нужно взять корни всех возможных степеней из его элементов. Эквивалентное определение радикала идеала I — это прообраз нильрадикала R / I {displaystyle R/I} при отображении факторизации. Это также доказывает, что I {displaystyle {sqrt {I}}} является идеалом.

Примеры

  • В кольце целых чисел радикал главного идеала ( a ) {displaystyle (a)} — это идеал, порождённый произведением всех простых делителей a {displaystyle a} .
  • Радикал примарного идеала прост. Если радикал идеала максимален, то этот идеал примарен (если же радикал прост, то идеал не обязательно примарен).
  • В любом коммутативном кольце P n = P {displaystyle {sqrt {P^{n}}}=P} для простого идеала P {displaystyle P} . В частности, каждый простой идеал радикален.

Свойства

  • I = I {displaystyle {sqrt {sqrt {I}}}={sqrt {I}}} . Более того, I {displaystyle {sqrt {I}}} — это наименьший радикальный идеал, содержащий I.
  • I {displaystyle {sqrt {I}}} — это пересечение всех простых идеалов, содержащих I. В частности, нильрадикал — это пересечение всех простых идеалов.
  • Идеал является радикальным тогда и только тогда, когда факторкольцо по нему не содержит нетривиальных нильпотентов.

Приложения

Основная мотивация для изучения радикалов — это их появление в знаменитой теореме Гильберта о нулях из коммутативной алгебры. Наиболее простая формулировка этой теоремы имеет следующий вид: для любого алгебраически замкнутого поля k {displaystyle k} и любого конечнопорождённого идеала в кольце многочленов от n {displaystyle n} переменных над полем k {displaystyle k} верно следующее равенство:

I ⁡ ( V ⁡ ( J ) ) = J , {displaystyle operatorname {I} (operatorname {V} (J))={sqrt {J}},}

где

V ⁡ ( J ) = { x ∈ k n   |   f ( x ) = 0   ∀ f ∈ J } {displaystyle operatorname {V} (J)={xin k^{n} | f(x)=0~forall fin J}}

и

I ⁡ ( S ) = { f ∈ k [ x 1 , x 2 , … x n ]   |   f ( x ) = 0   ∀ x ∈ S } . {displaystyle operatorname {I} (S)={fin k[x_{1},x_{2},ldots x_{n}] | f(x)=0~forall xin S}.}