Главная
Статьи





11.08.2022


11.08.2022


11.08.2022


11.08.2022


11.08.2022






Алгебра Хопфа

18.01.2022

Алгебра Хопфа — ассоциативная алгебра над полем, имеющая единицу и являющаяся также коассоциативной коалгеброй с коединицей (таким образом, являющаяся биалгеброй) c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Хайнца Хопфа.

Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они впервые возникли в связи с концепцией H-пространства, в теории групповых схем, в теории групп (благодаря концепции группового кольца) и не только. Частая распространенность делает их одним из самых известных примеров биалгебр. Алгебры Хопфа также изучаются как самостоятельный объект в связи с большим количеством определённых классов алгебр Хопфа и проблем их классификации.

Определение

Алгебра Хопфа — ассоциативная и коассоциативная биалгебра H над полем K {displaystyle K} вместе с K {displaystyle K} -линейным отображением S : H → H {displaystyle Scolon H o H} (называемым антиподом) таким, что следующая диаграмма коммутативна:

Здесь Δ — коумножение биалгебры, ∇ — её умножение, η — её единица и ε — её коединица. В обозначениях Свидлера, это свойство также может быть выражено как:

S ( c ( 1 ) ) c ( 2 ) = c ( 1 ) S ( c ( 2 ) ) = ϵ ( c ) 1 ∀ c ∈ H {displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=epsilon (c)1qquad forall cin H} .

Приведённое определение можно обобщить на алгебры над кольцами (достаточно в определении заменить поле K {displaystyle K} на коммутативное кольцо R {displaystyle R} ).

Определение алгебры Хопфа двойственно самому себе (это отражено в симметрии приведённой диаграммы), в частности, пространство, двойственное к H (которое всегда можно определить, если H является конечномерным) автоматически является алгеброй Хопфа.

Свойства антипода

Антипод S иногда обязан иметь R-линейную инверсию, которая является автоматической в конечномерном случае, или если H коммутативна или кокоммутативна (или, вообще говоря, квазитреугольная).

Вообще говоря, S — антигомоморфизм, так S2 — гомоморфизм, который является поэтому автоморфизмом, если S было обратимо (как может требоваться).

Если S 2 = I d {displaystyle S^{2}=Id} , то алгебра Хопфа, как говорят, является запутанной (и основная алгебра с запутанностью — *-алгебра). Если H — конечномерная полупростая алгебра по полю характеристики ноль, коммутативная, или кокоммутативная, то это — запутанная алгебра.

Если биалгебра B допускает антипод S, то S единственен («биалгебра допускает самое большее 1 структуру алгебры Хопфа»).

Антипод — аналог к отображению инверсии на группе, которая посылает g {displaystyle g} к g − 1 {displaystyle g^{-1}} .

Подалгебры Хопфа

Подалгебра A алгебры Хопфа H является подалгеброй Хопфа, если она является подкоалгеброй H и антипод S отображает A в A. Другими словами, подалгебра Хопфа A — это подпространство в алгебре Хопфа, замкнутое относительно умножения, коумножения и антипода. Теорема Николса — Зеллер (Nichols — Zoeller) о свободности (1989) утверждает, что любой натуральный R-модуль имеет конечный ранг и свободен, если H конечномерна, что даёт обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп. Как следствие этой теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста.

Подалгебра Хопфа A называется правой нормальной подалгеброй алгебры Хопфа H, если она удовлетворяет условию стабильности, a d r ( h ) ( A ) ⊆ A {displaystyle ad_{r}(h)(A)subseteq A} для всех h из H, где присоединённое действие a d r {displaystyle ad_{r}} определено как a d r ( h ) ( a ) = S ( h ( 1 ) ) a h ( 2 ) {displaystyle ad_{r}(h)(a)=S(h_{(1)})ah_{(2)}} для всех a из A и h из H. Точно так же подалгебра Хопфа K является левой нормальной в H если она инвариантна при левом сопряжении, определенном как a d ℓ ( h ) ( k ) = h ( 1 ) k S ( h ( 2 ) ) {displaystyle ad_{ell }(h)(k)=h_{(1)}kS(h_{(2)})} для всех k из K. Оба условия нормальности эквивалентны, если антипод S биективен. В этом случае говорят, что A = K является нормальной подалгеброй Хопфа.

Нормальная подалгебра Хопфа A в H удовлетворяет условию (равенства подмножеств H): H A + = A + H {displaystyle HA^{+}=A^{+}H} , где A + {displaystyle A^{+}} обозначает ядро коединицы K. Это условие нормальности подразумевает, что H A + {displaystyle HA^{+}} — идеал Хопфа алгебры H (то есть является идеалом алгебры в ядре коединицы, коидеалом коалебры и устойчив под действием антипода). Как следствие, определена факторалгебра Хопфа H / H A + {displaystyle H/HA^{+}} и эпиморфизм H → H / A + H {displaystyle H ightarrow H/A^{+}H} , аналогично соответствующим конструкциям нормальных подгрупп и факторгрупп в теории групп.

Примеры

  • Групповая алгебра. Пусть G — группа. Алгебра R G — ассоциативная алгебра над R, с единицей. Если мы определим
  • Δ : R GR GR G, Δ(g) = gg для любого g из G,
  • ε : R GR, ε(g) = 1 для любого g из G,
  • S : R GR G, S(g) = g−1 для любого g из G,
  • то R G превращается в алгебру Хопфа.

  • Диаграмма китайских иероглифов - связный граф, имеющий лишь трехвалентные вершины, с выделенным ориентированным циклом (петлей Вильсона), и фиксированным циклическим порядком тройки ребер, которые выходят из каждой вершины, не лежащей на петле Вильсона. Группа китайских диаграмм порядка i {displaystyle i} - свободный G {displaystyle G} -модуль, порожденный 2 i {displaystyle 2i} -вершинными диаграммами (которые рассматриваются с точностью до естественной эквивалентности), факторизованный по подмодулю, порожденному всевозможными S T U {displaystyle STU} -соотношениями.
  • Когомологии групп Ли

    Алгебра когомологий группы Ли — алгебра Хопфа: умножение — стандартное произведение в кольце когомологий, а коумножение имеет вид

    H ∗ ( G ) → H ∗ ( G × G ) ≅ H ∗ ( G ) ⊗ H ∗ ( G ) {displaystyle H^{*}(G) ightarrow H^{*}(G imes G)cong H^{*}(G)otimes H^{*}(G)}

    в силу умножения группы G × G → G {displaystyle G imes G ightarrow G} . Это наблюдение было фактически источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли.

    Теорема Хопфа Пусть A — конечномерная градуированно-коммутативная кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда A (как алгебра) — свободная внешняя алгебра с генераторами нечетной степени.

    Квантовые группы

    Все примеры выше являются либо коммутативными (то есть умножение коммутативное), либо кокоммутативными (то есть Δ = T ∘ Δ, где T : H ⊗ HH ⊗ H есть перестановка тензорных сомножителей, определенная как T(x ⊗ y) = y ⊗ x). Другими интересными примерами алгебр Хопфа — некоторые деформации, или «квантования», примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют «квантовыми группами». Идея состоит в следующем: обычная алгебраическая группа может быть описана в терминах алгебры Хопфа регулярных функций. Мы можем тогда думать о деформации этой алгебры Хопфа как об описании некоторой «квантованной» алгебраической группы (хотя она и не является алгебраической группой ни в каком смысле). Многие свойства алгебраических групп, а также конструкции с ними имеют свои аналоги в мире деформированных алгебр Хопфа. Отсюда название «квантовая группа».

    Аналогия с группами

    Группы могут быть аксиоматизированы при помощи тех же диаграмм (эквивалентностей, операций), что и алгебры Хопфа, где H — множество, а не модуль. В этом случае:

    • поле R заменено множеством из 1 элемента
    • есть естественная коединица (отображение в единственный элемент)
    • есть естественное коумножение (диагональное отображение)
    • единица — нейтральный элемент группы
    • умножение — умножение в группе
    • антипод — взятие обратного элемента в группе

    В этом смысле о группах можно думать как о алгебрах Хопфа над полем из одного элемента.